Sejam \(z_1\) e \(z_2\) dois números complexos de mesmo módulo e x, um número real positivo. Se \(z_1=12+x \cdot i\) e \(z_2=2x+4 \sqrt6 \cdot i\), então x é igual a

Gabarito

B

Comentário do professor

Para resolver a questão, precisamos encontrar o valor de \(x\) a partir da igualdade dos módulos dos números complexos \(z_1\) e \(z_2\).

Os números complexos dados são:

\(z_1 = 12 + x \cdot i\)

\(z_2 = 2x + 4\sqrt{6} \cdot i\)

O módulo de um número complexo \(z = a + b \cdot i\) é dado pela fórmula:

\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\

Portanto, para \(z_1\), temos:

\(|z_1| = \sqrt{12^2 + x^2} = \sqrt{144 + x^2}\

Já para \(z_2\), o módulo é:

\(|z_2| = \sqrt{(2x)^2 + (4\sqrt{6})^2} = \sqrt{4x^2 + 96}\

Como os módulos são iguais, podemos estabelecer a seguinte equação:

\(\sqrt{144 + x^2} = \sqrt{4x^2 + 96}\)

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos:

\(144 + x^2 = 4x^2 + 96\)

Rearranjando a equação, isolamos \(x\):

\(144 - 96 = 4x^2 - x^2\)

\(48 = 3x^2\)

\(x^2 = \frac{48}{3} = 16\)

Portanto, ao extrair a raiz quadrada, encontramos duas soluções:

\(x = \pm 4\)

Como \(x\) deve ser um número real positivo, selecionamos:

\(x = 4\)

Dessa forma, a alternativa correta é a letra B, onde \(x\) é igual a 4.