As raízes sextas do complexo Z = a + bi são os vértices do hexágono regular da figura acima, representados pelos pontos W1, W2, W3, W4, W5 e W6. Como OW1=2 e med(AÔW1)= \(\dfrac {\

Gabarito

D

Comentário do professor

Na alternativa correta, temos os números complexos W₄ = -\sqrt{3} - i e W₅ = -2i.

Para entender a posição desses números complexos, vamos considerar que estamos lidando com as raízes sextas de um número complexo representando os vértices de um hexágono regular.

Primeiramente, W₁, que representa o primeiro vértice do hexágono, foi encontrado a partir do módulo (raio) e do argumento. Neste caso, temos que o raio é 2 e o argumento é \(\frac{\pi}{6}\), resultando em:

\( = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sen(\frac{\pi}{6})) \)

\( = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} + i \).

Uma vez que temos W₁, podemos determinar os outros vértices do hexágono por simetria e a periodicidade das funções trigonométricas.

O vértice W₄ pode ser calculado observando que ele está localizado a 180 graus (ou \(\pi\) radianos) de distância de W₁:

\( = W_1 + 180^\circ = 2(\cos(\frac{\pi}{6} + \pi) + i\sen(\frac{\pi}{6} + \pi)) \)

Portanto, isso nos leva a:

\( = -\sqrt{3} - i\).

Em relação ao W₅, como ele também é um dos vértices do hexágono, a sua posição é obtida a partir de uma rotação em 240 graus (ou \(\frac{4\pi}{3}\) radianos) do vetor inicial que representa W₁. Seu cálculo envolve apenas a parte imaginária, que resulta em:

\( = -2i\) (parte real igual a 0 e parte imaginária igual a -2).

Dessa forma, confirmamos que a alternativa correta é W₄ = -\sqrt{3} - i e W₅ = -2i, representando adequadamente dois vértices do hexágono regular formado pelas raízes sextas do número complexo dada a situação inicial.