Considere que, após três medições, envolvendo as variáveis t e y, um sistema gerou o seguinte conjunto de dados: (1,10); (2,15) e (3,16). Considere que o polinômio interpolador par

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para resolver a questão, vamos determinar o polinômio interpolador \( P(t) = at^2 + bt + c \) que passa pelos pontos \( (1,10) \), \( (2,15) \) e \( (3,16) \).

A partir desses pontos, configuramos três equações:

\( P(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 10 \)

O que resulta na equação: \( a + b + c = 10 \) (1)

\( P(2) = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 15 \)

Concluímos a equação: \( 4a + 2b + c = 15 \) (2)

\( P(3) = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c = 16 \)

Resultando na equação: \( 9a + 3b + c = 16 \) (3)

Agora, vamos resolver esse sistema de equações.

Subtraindo a equação (1) da (2):

\( (4a + 2b + c) - (a + b + c) = 15 - 10 \)

Isso simplifica para: \( 3a + b = 5 \) (4)

Subtraindo a equação (1) da (3):

\( (9a + 3b + c) - (a + b + c) = 16 - 10 \)

Então temos: \( 8a + 2b = 6 \) (5)

Agora, vamos usar a equação (4) para expressar \( b \) em função de \( a \):

\( b = 5 - 3a \) (6)

Substituindo (6) na equação (5):

\( 8a + 2(5 - 3a) = 6 \)

Desenvolvendo a equação:

\( 8a + 10 - 6a = 6 \)

\( 2a + 10 = 6 \)

\( 2a = -4 \)

\( a = -2 \)

Agora que temos \( a \), substituímos de volta em (6) para encontrar \( b \):

\( b = 5 - 3(-2) = 5 + 6 = 11 \)

Finalmente, substituímos \( a \) e \( b \) na equação (1) para encontrar \( c \):

\( -2 + 11 + c = 10 \)

Portanto, \( c = 10 - 9 = 1 \)

Agora temos os coeficientes do polinômio:

\( a = -2 \), \( b = 11 \), \( c = 1 \)

Por fim, o produto dos coeficientes \( a \), \( b \) e \( c \) é:

\( a \times b \times c = -2 \times 11 \times 1 = -22 \)

Assim, confirmamos que o produto dos coeficientes do polinômio interpolador é -22, correspondendo à alternativa correta (C).