Se n é um número inteiro positivo, quantos valores de n fazem com que a expressão E = \({ \large n^2 - 5n + 6 \over n + 1}\) seja um número inteiro?

Gabarito

B

Comentário do professor

Para que a expressão \( E = \frac{n^2 - 5n + 6}{n + 1} \) seja um número inteiro, precisamos focar em como a relação entre o numerador e o denominador se comporta.

Primeiro, realizamos a divisão polinomial do numerador \( n^2 - 5n + 6 \) pelo denominador \( n + 1 \).

Ao efetuarmos essa divisão, encontramos:

\({\large \frac{n^2 - 5n + 6}{n + 1}} = n - 6 + \frac{12}{n + 1}\

A parte \( n - 6 \) é sempre um número inteiro quando \( n \) é um inteiro. O que precisamos garantir agora é que o termo \( \frac{12}{n + 1} \) também seja um inteiro.

Para que \( \frac{12}{n + 1} \) seja inteiro, \( n + 1 \) deve ser um dos divisores de 12. Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Entretanto, dado que \( n \) é um número inteiro positivo, \( n + 1 \) deve ser maior que 1. Portanto, excluímos o divisor 1 e consideramos apenas 2, 3, 4, 6 e 12, resultando em:

• Se \( n + 1 = 2 \Rightarrow n = 1 \)
• Se \( n + 1 = 3 \Rightarrow n = 2 \)
• Se \( n + 1 = 4 \Rightarrow n = 3 \)
• Se \( n + 1 = 6 \Rightarrow n = 5 \)
• Se \( n + 1 = 12 \Rightarrow n = 11 \)

Com isso, temos cinco valores de \( n \) que tornam a expressão \( E \) um número inteiro: 1, 2, 3, 5 e 11.

Portanto, concluímos que existem 5 valores para \( n \) que satisfazem a condição da questão.

Gabarito: alternativa B.