Considere a equação polinomial \(x^3 + x^2 + kx = 0\), onde k é um coeficiente real. Se uma das raízes dessa equação é 4, as outras raízes são

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que nos diz que as outras raízes da equação polinomial \(x^3 + x^2 + kx = 0\) são 5 e 0, considerando que uma das raízes é 4.

Primeiramente, podemos fatorar a equação inicial:

\(x(x^2 + x + k) = 0\)

A partir desta fatoração, já podemos identificar uma raiz, que é \(x = 0\). Agora, precisamos encontrar as outras raízes a partir do polinômio do segundo grau \(x^2 + x + k = 0\).

Usando a relação conhecida da soma das raízes de uma equação do segundo grau, temos:

\(\boxed{x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}}\)

No nosso caso, \(a = 1\) e \(b = 1\). Logo:

\(x_1 + x_2 = -\frac{1}{1} = -1\)

Sendo \(x_1 = 4\) (uma das raízes que já sabemos), podemos determinar \(x_2\):

\(4 + x_2 = -1\)

Portanto:

\(x_2 = -1 - 4 = -5\)

Dessa forma, as outras duas raízes que conseguimos determinar são \(x = 4\) e \(x = -5\), além do zero que já havíamos identificado. A solução completa da equação é, então, \(0\), \(4\) e \(-5\).

Assim, confirmamos que as outras raízes são \(-5\) e \(0\), corroborando a alternativa correta.