A equação \(2x^5-6x^4+x^3-3x^2-x+3=0\) possui uma raiz inteira. O número total de raízes reais dessa equação será

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para a equação \(2x^5-6x^4+x^3-3x^2-x+3=0\), o número total de raízes reais é 3.

Primeiramente, vamos considerar que a equação é um polinômio de 5º grau, o que nos diz que ela pode ter até 5 raízes, considerando também as raízes complexas.

Sabemos que a equação tem uma raiz inteira, que encontramos ao usarmos o Teorema das Raízes Racionais. Testando os divisores do termo independente (que é 3), encontramos como raiz \(x=3\).

Após descobrir essa raiz, podemos aplicar o método de Briot-Ruffini para reduzir a ordem do polinômio. Quando fazemos isso, obtemos um polinômio de 4ª ordem:

\(2x^4+x^2-1=0\)

Agora, precisamos analisar esse novo polinômio de 4º grau. Para determinar o número de raízes reais, utilizamos o conceito de discriminante. Substituindo \(x^2\) por uma nova variável \(y\), transformamos nossa equação em:

\(2y^2+y-1=0\)

A partir da fórmula do discriminante, encontramos um valor positivo (\(\Delta = 9\)). Isso indica que essa equação quadrática possui duas raízes reais.

Assim, temos:

• A raiz inteira \(x=3\) do polinômio original;
• Duas raízes reais do polinômio de 4ª ordem.

Portanto, o total de raízes reais da equação original é:

1 (raiz inteira) + 2 (raízes do polinômio de 4ª ordem) = 3 raízes reais.

Assim, a resposta correta é confirmar que o número total de raízes reais dessa equação é, de fato, 3.