Questão FC188769
Se o polinômio p(x) = x6 − Ax4 + Bx2 − 1 possui apenas raízes inteiras, então tem-se, necessariamente, que
Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal
CESGRANRIO · 2011
Se o polinômio p(x) = x6 − Ax4 + Bx2 − 1 possui apenas raízes inteiras, então tem-se, necessariamente, que
- AB < 1
- A + B < 6
- B < A
- A < 0 e B > 0
- A = B
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Vamos analisar a alternativa correta: A = B.
O polinômio dado é \( p(x) = x^6 - Ax^4 + Bx^2 - 1 \) e possui apenas raízes inteiras. Aplicando o Teorema das Raízes Racionais, sabemos que as raízes desse polinômio são divisores do termo independente, que aqui é \(-1\). Portanto, as possíveis raízes inteiras são \(-1\) e \(1\).
Começamos substituindo \( x = -1 \):
Assim, temos:
\( p(-1) = (-1)^6 - A(-1)^4 + B(-1)^2 - 1 \)
\( = 1 - A + B - 1 = 0 \)
\( -A + B = 0 \)
\( B = A \)
Agora, verificamos substituindo \( x = 1 \):
Temos:
\( p(1) = 1^6 - A(1^4) + B(1^2) - 1 \)
\( = 1 - A + B - 1 = 0 \)
\( -A + B = 0 \)
\( B = A \)
Em ambas as situações, chegamos à mesma conclusão de que \( A \) deve ser igual a \( B \). Portanto, a alternativa correta é realmente A = B, garantindo que as propriedades do polinômio e suas raízes inteiras estejam em conformidade.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em