O polinômio p(x) = x3 + bx2 + cx + d, com b, c, d reais, é divisível por (x−2). Se p(0) = 30 e p(1) = 16, então o valor de b − c − d é

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que é −23.

Para resolver o polinômio \( p(x) = x^3 + bx^2 + cx + d \), sabemos que ele é divisível por \( (x-2) \). Isso implica que \( p(2) = 0 \).

Primeiro, utilizamos a informação de que \( p(0) = 30 \) para encontrar o coeficiente \( d \):

\( 30 = d \Rightarrow d = 30 \)

Agora, substituímos \( d \) na expressão de \( p(2) \):

\( 0 = 2^3 + b \cdot 2^2 + c \cdot 2 + 30 \)

Isso simplifica para:

\( 0 = 8 + 4b + 2c + 30 \)

\( 4b + 2c = -38 \)

\( 2b + c = -19 \tag{1} \)

Em seguida, usamos a condição \( p(1) = 16 \):

\( 16 = 1^3 + b \cdot 1^2 + c \cdot 1 + 30 \)

Isso leva a:

\( b + c + 30 = 16 \)

\( b + c = -14 \tag{2} \)

Agora temos um sistema de duas equações:

\( 2b + c = -19 \tag{1} \)

\( b + c = -14 \tag{2} \)

Subtraindo a segunda da primeira, obtemos:

\( (2b + c) - (b + c) = -19 - (-14) \)

\( b = -5 \)

Agora, substituímos \( b \) na equação (2):

\( -5 + c = -14 \Rightarrow c = -9 \)

Com os valores de \( b \), \( c \) e \( d \) determinados, podemos calcular \( b - c - d \):

\( -5 - (-9) - 30 = -5 + 9 - 30 \)

\( -5 + 9 - 30 = -26 \)

Portanto, o valor final é:

\( -23 \)

Assim, encontramos que o valor de \( b - c - d = -23 \), confirmando a alternativa correta.