Questão FC188776
Dizemos que um ângulo central definido por dois segmentos radiais de um círculo mede 1 radiano quando o comprimento do arco da circunferência definido por tais segmentos é igual ao
Geometria Plana
CESGRANRIO · 2010
Dizemos que um ângulo central definido por dois segmentos radiais de um círculo mede 1 radiano quando o comprimento do arco da circunferência definido por tais segmentos é igual ao raio da circunferência. A utilização da unidade radiano é conveniente quando estudamos mais profundamente as funções trigonométricas e é natural, por exemplo, quando representamos a velocidade angular de uma partícula que se move sobre uma circunferência, em \(^{rad}/_s\).
Se uma partícula se mover ao longo de uma circunferência, no sentido anti-horário, com uma velocidade angular constante igual a 2 \(^{rad}/_s\), durante 3 segundos, ela irá
- completar exatamente uma volta em torno da circunferência.
- completar exatamente 2 voltas em torno da circunferência.
- completar exatamente 6 voltas em torno da circunferência.
- definir uma variação angular entre as posições inicial e final da partícula, em graus, pouco superior a 340º .
- definir uma variação angular entre as posições inicial e final da partícula, em graus, igual a 6 \(\pi\).
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Gabarito
D
Comentário do professor
Na alternativa D, afirmamos que a partícula irá definir uma variação angular entre as posições inicial e final, em graus, pouco superior a \(340^\circ\).
Vamos analisar o movimento da partícula. Quando se diz que a velocidade angular é de \(2\,\,\mbox{rad/s}\), e sabendo que a partícula se movimenta por \(3\) segundos, podemos calcular a variação angular (\(\Delta \theta\)) percorrida:
\(\Delta \theta = \omega \cdot t\)
Substituindo os valores, temos:
\(\Delta \theta = 2\,\, \mbox{rad/s} \cdot 3\,\, s = 6\,\,\mbox{rad}\)
Agora, para converter a variação angular de radianos para graus, usamos o fato de que \(2\pi\,\, \mbox{rad} = 360^\circ\). Portanto, a conversão fica:
\(6\,\,\mbox{rad} \longrightarrow x\)
Usando a regra de três, obtemos:
\(2\pi\,\,\mbox{rad} \approx 6.28\,\,\mbox{rad} \longrightarrow 360^\circ\)
Multiplicando em cruz, temos:
\(6.28x = 2.160\)
Resolvendo para \(x\), temos:
\(x \approx \frac{2.160}{6.28} \approx 344.2^\circ\)
Assim, conseguimos concluir que a variação angular é um pouco maior que \(340^\circ\), confirmando a alternativa D como correta. Portanto, a partícula realmente define uma variação angular entre as posições inicial e final que é pouco superior a \(340^\circ\).
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