Questão FC188777
Dizemos que uma construção geométrica foi feita por régua (sem marcas) e compasso quando a mesma foi obtida, exclusivamente, por meio de um número finito de operações de traçado de
Geometria Plana
CESGRANRIO · 2010
Dizemos que uma construção geométrica foi feita por régua (sem marcas) e compasso quando a mesma foi obtida, exclusivamente, por meio de um número finito de operações de traçado de retas e/ou circunferências. Os softwares de geometria dinâmica são recursos tecnológicos que possibilitam a realização de construções geométricas feitas por régua e compasso virtuais, dentre outras construções que não são deste tipo.
Um exemplo de construção geométrica que não é realizável por régua e compasso é apresentada abaixo e ilustra um teorema anunciado por Frank Morley em 1904:
Teorema: Dado um triângulo qualquer, considere as trissetrizes de seus ângulos internos. Independentemente do triângulo tomado inicialmente, os pontos de interseção das trissetrizes adjacentes serão sempre vértices de um triângulo equilátero".
A impossibilidade da realização da construção geométrica acima ilustrada, por régua e compasso, se deve
- à impossibilidade da trissecção do ângulo por meio de tais instrumentos.
- ao fato de não termos como saber se um triângulo é equilátero sem uma régua com marcas.
- ao fato de não podermos dividir ângulos apenas usando régua e compasso.
- à não utilização do transferidor.
- à não utilização de esquadros.
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Gabarito
A
Comentário do professor
Vamos analisar a alternativa correta, que afirma que a impossibilidade da construção geométrica em questão se deve à impossibilidade da trissecção do ângulo por meio de tais instrumentos.
Para compreendermos essa afirmação, vamos falar um pouco sobre a trissecção do ângulo, que é o ato de dividir um ângulo em três partes iguais. Um dos aspectos mais interessantes da geometria clássica é que, com uma régua sem marcas e um compasso, não conseguimos realizar essa tarefa.
O resultado da impossibilidade da trissecção é bem conhecido na história da matemática. Ele foi provado em 1837 pelo matemático francês Pierre Wantzel, que demonstrou que alguns problemas clássicos da geometria não podem ser solucionados usando apenas esses dois instrumentos tradicionais. Assim, a trissecção exata de um ângulo não é realizável.
No contexto do Teorema de Morley mencionado na questão, a construção das trissetrizes e a intersecção entre elas leva à formação de um triângulo equilátero, mas essa construção transcende o que podemos fazer com régua e compasso. Portanto, como a construção depende da trissecção, estamos diante de uma impossibilidade geométrica.
Essa é a razão pela qual a alternativa correta é a letra A: à impossibilidade da trissecção do ângulo por meio de tais instrumentos. Essa propriedade fundamental da geometria nos mostra as limitações das construções feitas por régua e compasso, levando à conclusão de que, para situações complexas como a do teorema de Morley, precisamos de ferramentas mais avançadas.
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