Considere um triângulo retângulo ABC cujos lados medem 60 cm, 80 cm e 1 m. A figura mostra um retângulo inscrito no triângulo ABC, que possui um de seus vértices sobre o ponto A. D

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A razão entre a área do retângulo \( R \) e a área do triângulo \( ABC \) é igual a \( \frac{1}{2} \).

Vamos verificar por que essa razão resulta nesta fração específica.

Para iniciar, consideramos as dimensões do triângulo \( ABC \). Seus lados medem \( 60 \, cm \) e \( 80 \, cm \). A área do triângulo é dada pela fórmula:

\(

Assim, a área do triângulo \( ABC \) é:

\(

Agora, vamos analisar a área do retângulo \( R \) inscrito no triângulo, onde um dos seus vértices está em \( A \). Ao definir as dimensões do retângulo como \( x \) e \( y \), sabemos que podemos expressar a área do retângulo como:

\(

Em nossa análise, estabelecemos que a área é máxima em determinadas alturas e larguras dentro do triângulo, levando a encontrar a área máxima do retângulo que é:

\(

Agora, para acharmos a razão entre a área do retângulo \( R \) e a área do triângulo \( ABC \), precisamos calcular:

\(\frac{A_R}{A_{ABC}} = \frac{1200}{2400}\)

Assim, temos que:

\( = \frac{1}{2}\)

Dessa forma, concluímos que a razão entre a área do retângulo \( R \) e a área do triângulo \( ABC \) é, de fato, \( \frac{1}{2} \), confirmando que a alternativa correta é a letra E.