Os ângulos \(\alpha, \beta\) e \(θ\) são agudos e tais que \(\sin \alpha = \large{1 \over 2}\), \(\cos \beta= {\large{ \sqrt 2 \over 2}}\) e \(θ= {\large{3 \alpha \over 2}} + {\lar

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que apresenta o valor de \( \tan \theta \) como \( \sqrt{3} \).

Primeiramente, sabemos que:

• \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \) indica que \( \alpha \) é igual a \( 30^\circ \).
• \( \cos \beta = \frac{\sqrt{2}}{2} \) mostra que \( \beta \) é igual a \( 45^\circ \).

Agora, precisamos calcular o ângulo \( \theta \) utilizando a relação dada:

\( \theta = \frac{3\alpha}{2} + \frac{\beta}{3} \).

Substituindo os valores de \( \alpha \) e \( \beta \):

\( \theta = \frac{3 \times 30^\circ}{2} + \frac{45^\circ}{3} \)

Desenvolvendo a expressão:

\( \theta = \frac{90^\circ}{2} + 15^\circ \)

\( \theta = 45^\circ + 15^\circ \)

\( \theta = 60^\circ \)

Agora que temos o valor de \( \theta \), podemos calcular a tangente desse ângulo:

\( \tan 60^\circ \).

A tangente de \( 60^\circ \) é uma das razões trigonométricas que sabemos ser:

\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \).

Portanto, confirmamos que o valor de \( \tan \theta \) é, de fato, \( \sqrt{3} \). Essa é a razão pela qual a alternativa correta é a letra E.