Se AB = DE = 30 cm e BE = 42 cm, qual é a medida, em cm, do segmento DA?

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos analisar a opção B, que afirma que a medida do segmento DA é 6 cm.

Primeiro, devemos reconhecer que os triângulos ACB e ECD são congruentes. Essa congruência é estabelecida pelo caso Lado-Ângulo-Ângulo (LAA), onde temos:

• AB = DE = 30 cm (lados correspondentes),
• Â = Ê (ângulos correspondentes),
• Ângulo reto (90º).

Com a congruência, podemos afirmar que as medidas correspondentes dos triângulos são iguais. Portanto, a altura dos dois triângulos também será a mesma.

O segmento BE, que corresponde à soma da base e da altura dos triângulos, tem um total de 42 cm. Vamos chamar a base de um dos triângulos (AC, por exemplo) de \(x\). Assim, a altura, que é a parte que precisamos calcular, será \(42 - x\).

Utilizando o teorema de Pitágoras para o triângulo ACB, onde a hipotenusa é 30 cm, temos:

\(30^2 = x^2 + (42 - x)^2\)

Explicando isso, temos:

\(900 = x^2 + (1764 - 84x + x^2)\)

Assim, nos chega à equação:

\(2x^2 - 84x + 864 = 0\)

Resolvendo essa equação quadrática, encontraremos as medidas da base \(x\). Negociando com o discriminante, chegamos a dois valores que correspondem às possíveis bases dos triângulos, sendo \(x = 18\) cm a base. Portanto, a altura é:

\(42 - 18 = 24\) cm

Finalmente, o segmento DA representa a diferença entre a altura e a base:

\(24 - 18 = 6\) cm

Assim, a alternativa B está correta: a medida do segmento DA é de 6 cm.