Qual é, em cm, a medida do segmento AP?

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que é \(8\sqrt{6}\) cm, no contexto do triângulo ABC, que é isósceles e retângulo.

Primeiramente, sabemos que a hipotenusa do triângulo, que é o lado \(AB\), mede 24 cm. Como o triângulo é isósceles e retângulo, os outros dois lados \(AC\) e \(BC\) também têm a mesma medida, que chamamos de \(a\).

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)

\(24^2 = a^2 + a^2\)

\(576 = 2a^2\)

Resolvendo para \(a\):

\(288 = a^2\)

\(a = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}\ \text{cm}\)

Agora, o triângulo ABP é também um triângulo retângulo, onde o ângulo \(\mathrm{B\widehat{A}P} = 30^\circ\). Desejamos encontrar o valor do segmento \(AP\).

Utilizando a definição do coseno para o ângulo de 30°:

\(\cos(30^\circ) = \frac{BC}{AP}\)

Sendo \(BC = 12\sqrt{2}\), temos:

\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{AP}\)

Multiplicando em cruz, encontramos:

\(\sqrt{3} \cdot AP = 24\sqrt{2}\)

Logo, isolando \(AP\):

\(AP = \frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)

Para racionalizar o denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por \(\sqrt{3}\):

\(AP = \frac{24\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{24\sqrt{6}}{3} = 8\sqrt{6}\ \text{cm}\)

Dessa forma, encontramos o valor de \(AP\) que corresponde à alternativa correta: \(8\sqrt{6}\) cm!