Sabendo-se que sen \(\widehat{C}={3\over 5}\), tg \(\widehat{D}={12\over 5}\) e \(\mathrm{BC\,=\,32\,cm}\), qual é, em centímetros, a medida do segmento BD?

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que nos dá a medida do segmento BD como sendo 10 cm.

Temos dois triângulos retângulos: o triângulo ABC e o triângulo ABD. Vamos começar com o triângulo ABC, onde sabemos que:

\(sen \widehat{C} = \frac{3}{5}\)

Isso significa que, em um triângulo retângulo, a razão do cateto oposto em relação à hipotenusa é de \(3\) para \(5\). Sabendo que \(\mathrm{BC} = 32 \, cm\), podemos estabelecer a relação:

Se o cateto oposto (BC) mede \(32 \, cm\), podemos dizer que:

O fator de proporcionalidade é \(\frac{32}{3}\), portanto, a hipotenusa AC será:

\( 5 \times \frac{32}{3} = \frac{160}{3} \, cm\)

O cateto adjacente AB pode ser encontrado usando o Teorema de Pitágoras:

\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)

Assim, após calcular, encontramos a medida de AB. Depois, continuaremos com o triângulo ABD.

No triângulo ABD, sabemos que:

\(tg \widehat{D} = \frac{12}{5}\)

Novamente, temos uma relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Este mesmo cateto AB se repete, e, ao assimilar essas proporções, podemos usar a mesma lógica do triângulo anterior para simplificar os cálculos.

Por fim, aplicando as proporções encontradas e utilizando novamente a regra do Teorema de Pitágoras, encontramos que a medida do segmento BD é proporcional a 10 cm.

Dessa forma, a alternativa correta é que o segmento BD mede 10 cm.