Se a distância entre as casas de Carlos e de Alberto é de 400 m, qual é, em metros, a distância entre a casa de Alberto e a escola?

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que indica que a distância entre a casa de Alberto e a escola é de 250 m.

Primeiramente, vamos atribuir uma variável para representar a distância que Alberto percorre até a escola. Denotamos essa distância como \(x\). Assim, temos as seguintes distâncias percorridas pelos amigos:

• Alberto = \(x\)
• Bernardo = \(70 \, m\)
• Carlos = \(x + 60 \, m\)

A questão declara que a distância entre as casas de Carlos e Alberto é de 400 m. Portanto, podemos visualizar essa relação na forma de um triângulo retângulo, em que a soma dos quadrados dos catetos deve ser igual ao quadrado da hipotenusa, de acordo com o Teorema de Pitágoras.

Assim, podemos estabelecer a seguinte equação:

\( (x + 70)^2 + (x - 10)^2 = 400^2 \)

Agora, expandindo os lados da equação:

\( (x + 70)^2 = x^2 + 140x + 4900 \)

\( (x - 10)^2 = x^2 - 20x + 100 \)

Substituindo esses valores na equação, temos:

\( x^2 + 140x + 4900 + x^2 - 20x + 100 = 160000 \)

Com isso, simplificamos a equação:

\( 2x^2 + 120x - 155000 = 0 \)

Dividindo por 2 para simplificar os coeficientes, obtemos:

\( x^2 + 60x - 77500 = 0 \)

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de \(x\):

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

Substituindo \(a = 1\), \(b = 60\) e \(c = -77500\):

\( x = \frac{-60 \pm \sqrt{3600 + 310000}}{2} \)

A raiz quadrada de \(313600\) resulta em \(560\), assim, temos:

\( x = \frac{-60 + 560}{2} = 250 \)

Portanto, a distância entre a casa de Alberto e a escola é, de fato, 250 m, confirmando a alternativa correta.