Na figura acima, têm-se dois triângulos retângulos: PAR e TAQ. Sabe-se que PA mede 6 cm e RA = \(\dfrac 2 5\) AQ. A medida da hipotenusa do triângulo TAQ, em cm, é

Gabarito

A

Comentário do professor

Na questão proposta, buscamos a medida da hipotenusa do triângulo TAQ. Primeiramente, devemos considerar os dados fornecidos: sabemos que PA mede 6 cm e que RA é \(\frac{2}{5}\) de AQ.

Para resolver esta questão, vamos determinar o comprimento de AQ. Denotemos essa medida como x. Assim, podemos expressar RA como:

RA = \frac{2}{5} \cdot x

Logo, temos:

RA = \frac{2}{5} \cdot AQ = \frac{2}{5}x

Agora, usando o conceito de triângulos retângulos e as razões trigonométricas, podemos aplicar a tangente no triângulo PAR:

\(\tan(\theta) = \frac{RA}{PA}\)

Considerando que os ângulos do triângulo PAR são 30° e 60°, podemos usar a tangente de 30°:

\(\tan 30^\circ = \frac{RA}{PA}\)

Substituindo os valores conhecidos:

\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\frac{2}{5}x}{6}\)

Multiplicando ambos os lados por \(6\) e rearranjando a equação, obtemos:

Após simplificações, encontramos AQ = 5\sqrt{3} \,cm.

Agora, para calcular a hipotenusa QT do triângulo QAT, utilizamos a razão do seno:

\(\sin(60°) = \frac{QA}{QT}\)

Temos QA = 5\sqrt{3} cm, e substituindo na equação:

\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{QT}\)

Resolvendo para QT, encontramos

QT = 10\,cm.

Portanto, a medida da hipotenusa do triângulo TAQ é, de fato, 10 cm, sendo assim a alternativa correta.