Considere o posicionamento dos pontos ilustrado no Croqui abaixo. Medindo-se os ângulos PAB e ABP, são obtidos os valores de, respectivamente, 45o e 60o. Sabe-se também que os pont

Gabarito

B

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que é a opção B, que indica que a medida aproximada do lado BP é 22 metros.

Para resolver essa questão, precisamos trabalhar com os ângulos fornecidos. Temos os ângulos:

• \(P\hat{A}B = 45^\circ\)
• \(A\hat{B}P = 60^\circ\)

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre \(180^\circ\). Assim, podemos determinar o ângulo \(A\hat{P}B\):

\(180^\circ = 45^\circ + 60^\circ + A\hat{P}B\)

Resolvendo, encontramos:

\(A\hat{P}B = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\)

Agora, temos um triângulo formado pelos pontos \(A\), \(B\) e \(P\), com os ângulos conhecidos. Para encontrar o lado \(BP\), aplicamos a Lei dos Senos, que relaciona os lados de um triângulo com os senos de seus ângulos opostos:

\(\frac{BP}{\sin(60^\circ)} = \frac{30}{\sin(75^\circ)}\)

Isolando \(BP\), temos:

\(BP = \frac{30 \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(75^\circ)}\)

Utilizando os valores de seno:

• \(\sin(60^\circ) \approx 0,866\)
• \(\sin(75^\circ) \approx 0,966\)

Substituindo esses valores na equação, obtemos:

\(BP \approx \frac{30 \cdot 0,866}{0,966} \approx 22\)

Assim, concluímos que a medida aproximada do lado BP é de 22 metros, que corresponde exatamente à alternativa correta B.