Em um retângulo de lados PQ = 12 cm e QR = 9 cm, os pontos T e U dividem a diagonal em três segmentos iguais, como ilustrado na Figura abaixo. A área do quadrilátero STQU, em cm 2,

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para encontrarmos a área do quadrilátero STQU, primeiramente precisamos entender a configuração do retângulo e a divisão da diagonal.

Medida da diagonal PR

O retângulo tem os lados PQ = 12 cm e QR = 9 cm. Usando o Teorema de Pitágoras, podemos calcular a diagonal PR:

\(PR = \sqrt{PQ^2 + QR^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\)

Portanto, a medida da diagonal PR é de 15 cm.

Divisão da diagonal

Os pontos T e U dividem a diagonal em três segmentos iguais. Assim, cada segmento mede:

\(\overline{PT} = \overline{TU} = \overline{UR} = \frac{15}{3} = 5 \text{ cm}\)

Os segmentos PT, TU e UR têm, portanto, 5 cm cada.

Cálculo da área

Para calcular a área do quadrilátero STQU, podemos notar que ele está cercado por dois triângulos menores, SUR e PQT.

Considerando o triângulo SUR:

Esse triângulo possui uma base de SR = 12 cm e a altura pode ser obtida através da tangente do ângulo formado.

A altura do triângulo (do ponto S até UR) é igual à altura correspondente a cada parte da diagonal, que já foi calculada:

\(h = \frac{9}{15} \times 5 = 3 \text{ cm}\)

Agora, a área do triângulo SUR é dada por:

\(A_{SUR} = \frac{base \times altura}{2} = \frac{12 \times 3}{2} = 18 \text{ cm}^2\)

Como existem outros triângulos similares e a figura total é simétrica, deduzimos que a área de cada quadrilátero STQU resultará na diferença entre a área do retângulo e a soma das áreas dos triângulos.

Área do retângulo

A área total do retângulo é:

\(Area_{retângulo} = PQ \times QR = 12 \times 9 = 108 \text{ cm}^2\)

Levando em conta que temos 4 triângulos similares (já calculados) cada um com 18 cm²:

\(Total_{triângulos} = 4 \times 18 = 72 \text{ cm}^2\)

Por fim, a área do quadrilátero STQU é dada pela subtração da área dos triângulos da área do retângulo:

\(A_{STQU} = Area_{retângulo} - Total_{triângulos} = 108 - 72 = 36 \text{ cm}^2\)

Assim, a área do quadrilátero STQU é de 36 cm², correspondendo à alternativa correta.