Num quadrado ABCD, de lado 3 cm, prolonga-se AB, na direção de A para B, até um ponto P, tal que BP = 3 AB. Em seguida, prolonga-se o lado BC, de B para C, até o ponto Q, tal que C

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A questão envolve um quadrado ABCD cujos lados medem 3 cm. A partir deste quadrado, são realizados prolongamentos em cada lado até os pontos P, Q, R e S, conforme descrito na questão.

Primeiramente, precisamos entender que os prolongamentos são 3 vezes o comprimento de cada lado do quadrado. Sendo assim, como a medida do lado do quadrado ABCD é 3 cm, cada prolongamento terá o seguinte valor:

\( \text{Prolongamento} = 3 \times 3 = 9 \, \text{cm} \)

Agora, para calcular o perímetro do quadrilátero PQRS, vamos considerar o comprimento de cada lado entre os novos pontos:

Os lados PQ, QR, RS e SP formam hipotenusas de triângulos retângulos onde os catetos são os prolongamentos e a soma do lado do quadrado com o prolongamento:

• Um cateto mede \( 9 \, \text{cm} \) (prolongamento)
• O outro cateto mede \( 3 + 9 = 12 \, \text{cm} \) (lado do quadrado mais prolongamento)

Utilizando o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento de um dos lados do quadrilátero:

\( \ell^2 = 9^2 + 12^2 \)

\( \ell^2 = 81 + 144 \)

\( \ell^2 = 225 \)

\( \ell = \sqrt{225} = 15 \, \text{cm} \)

Agora que temos a medida de cada lado do quadrilátero PQRS, podemos calcular o perímetro:

O perímetro total é dado por:

\( P = 4 \times \ell = 4 \times 15 = 60 \, \text{cm} \)

Dessa forma, a alternativa correta é 60, que corresponde ao perímetro do quadrilátero PQRS.