A figura mostra um quadrado cujos lados medem 2 metros, e uma região sombreada, na qual a medida do ângulo \(\alpha\), em radianos, é tal que \(\alpha ∈ \left( {\large{ \pi \over 4

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta, que é dada por:

Essa expressão representa a área da região sombreada no quadrado de lado 2 metros.

A primeira etapa é calcular a área total do quadrado:

Como o lado do quadrado mede 2 metros, sua área \(A_q\) será:

\(A_q = l^2 = 2^2 = 4 \, m^2\).

Agora, precisamos subtrair a área do triângulo que não está sombreada. Para isso, vamos analisar o triângulo formado dentro do quadrado:

No triângulo, a base é representada por \(b\) e a altura é igual à medida do lado do quadrado, que é 2 metros.

Assim, a área do triângulo \(A_{\triangle}\) é dada por:

\(A_{\triangle} = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{b \cdot 2}{2} = b\).

Para determinar o valor de \(b\), nós utilizamos a relação da tangente do ângulo \(\alpha\), que é dado por:

\(\tan(\alpha) = \frac{h}{b} = \frac{2}{b}\).

Rearranjando, obtemos:

\(b = \frac{2}{\tan(\alpha)}\).

Substituindo o valor de \(b\) na expressão da área do triângulo, temos:

\(A_{\triangle} = \frac{2}{\tan(\alpha)}\).

Agora, para encontrar a área sombreada \(A_s\), basta subtrair a área do triângulo da área do quadrado:

\(A_s = A_q - A_{\triangle} = 4 - b\).

Substituindo \(b\) na equação, obtemos:

\(A_s = 4 - \frac{2}{\tan(\alpha)}\).

Dessa forma, confirmamos que a expressão da área sombreada, que corresponde à alternativa correta, é:

\(4 - \frac{2}{\tan(\alpha)}\).