Num paralelogramo, dois lados consecutivos medem 10 cm e 5 cm, e o menor ângulo formado entre esses lados é igual a 60°. A razão entre as medidas da diagonal menor e da diagonal ma

Gabarito

D

Comentário do professor

Para resolver a questão, precisamos calcular as diagonais de um paralelogramo, dado que dois lados consecutivos medem 10 cm e 5 cm, e o menor ângulo entre eles é de 60°.

Utilizamos a Lei dos Cossenos para encontrar as diagonais. A primeira diagonal, que chamaremos de \(d\), corresponde à diagonal menor, e definimos a relação como:

\(d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha)\)

onde:

• \(a = 10\) cm
• \(b = 5\) cm
• \(\alpha = 60^\circ\)

Substituímos os valores:

\(d^2 = 10^2 + 5^2 - 2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ)\)

Calculando os termos:

\(d^2 = 100 + 25 - 100 \cdot 0.5\)

Portanto:

\(d^2 = 125 - 50\)

Assim, temos:

\(d^2 = 75\)

Portanto, a diagonal menor é:

\(d = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \, \text{cm}\)

Agora, para a diagonal maior, que chamaremos de \(D\), usamos o mesmo princípio, mas considerando o ângulo suplementar, que no caso é \(120^\circ\):

\(D^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(120^\circ)\)

Substituindo novamente:

\(D^2 = 10^2 + 5^2 - 2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)\)

Calculando os termos, temos que \(\cos(120^\circ ) = -0.5\):

\(D^2 = 100 + 25 + 100 \cdot 0.5\)

Logo:

\(D^2 = 125 + 50\)

Assim, temos:

\(D^2 = 175\)

Portanto, a diagonal maior é:

\(D = \sqrt{175} = 5\sqrt{7} \, \text{cm}\)

A razão entre a diagonal menor e a maior é:

\(\text{Razão} = \frac{d}{D} = \frac{5\sqrt{3}}{5\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3 \cdot 7}}{7} = \frac{\sqrt{21}}{7}\)

Portanto, a razão entre as medidas da diagonal menor e da diagonal maior do paralelogramo é dada por:

\(\frac{\sqrt{21}}{7}\)

Assim, a alternativa correta é a letra D.