Considere uma sequência infinita de retângulos, cada um deles com base medindo 1cm e tais que o primeiro tem altura 1m e, a partir do segundo, a altura de cada retângulo mede um dé

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta (D), que afirma que existe um n natural tal que \( S_n = 111,1111111 \).

Na sequência proposta, o primeiro retângulo possui uma altura de \( h_1 = 100 \, cm \) e sua área é dada por:

\( A_1 = 1 \cdot 100 = 100 \, cm^2 \)

A altura do segundo retângulo é um décimo da altura do primeiro, logo \( h_2 = \frac{100}{10} = 10 \, cm \) e a sua área é:

\( A_2 = 1 \cdot 10 = 10 \, cm^2 \)

Seguindo essa lógica, a altura do terceiro retângulo é \( h_3 = \frac{10}{10} = 1 \, cm \), com área:

\( A_3 = 1 \cdot 1 = 1 \, cm^2 \)

Perceba que as áreas dos retângulos formam uma progressão geométrica com primeiro termo \( a_1 = 100 \) e razão \( q = \frac{1}{10} \). A soma dos primeiros n termos de uma PG pode ser calculada pela fórmula:

\( S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \)

Substituindo os valores conhecidos, temos:

\( S_n = \frac{100(1 - \left(\frac{1}{10}\right)^n)}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{100(1 - \left(\frac{1}{10}\right)^n)}{\frac{9}{10}} = \frac{1000(1 - \left(\frac{1}{10}\right)^n)}{9} \)

Assim, à medida que n aumenta, \(\left(\frac{1}{10}\right)^n\) tende a zero, levando a um limite:

\( S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1000}{9} \approx 111,1111...\)

Portanto, dado que \( S_n \) se aproxima de \( 111,1111... \) conforme n cresce, e para algum n natural, exatamente esta soma pode ser igual a \( 111,1111111 \), podemos afirmar que a afirmativa na alternativa D é verdadeira.