Considere uma sequência infinita de retângulos, cada um deles com base medindo 1 cm e tais que o primeiro tem altura 1 m e, a partir do segundo, a altura de cada retângulo mede um

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta (D), que afirma que existe um número natural \( n \) tal que \( S_n = 111,1111111 \).

Considerando a sequência infinita de retângulos, a base de cada retângulo mede \( 1 \, cm \) e as alturas seguem um padrão específico: a altura do primeiro retângulo é \( h_1 = 1 \, m = 100 \, cm \). Para os retângulos subsequentes, a altura é sempre \( \frac{1}{10} \) da altura do anterior.

Assim, temos:

• Área do 1º retângulo: \( A_1 = 1 \cdot 100 = 100 \, cm^2 \)
• Área do 2º retângulo: \( A_2 = 1 \cdot 10 = 10 \, cm^2 \)
• Área do 3º retângulo: \( A_3 = 1 \cdot 1 = 1 \, cm^2 \)
• Área do 4º retângulo: \( A_4 = 1 \cdot 0.1 = 0.1 \, cm^2 \)

A sequência de áreas \( (A_n) \) forma uma progressão geométrica (PG) com a razão \( q = \frac{1}{10} \). A soma dos primeiros \( n \) termos dessa PG é dada pela fórmula:

\( S_n = A_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \)

À medida que \( n \) tende ao infinito, a soma total das áreas converge para:

\( S = \frac{100}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{100}{\frac{9}{10}} = \frac{1000}{9} \approx 111,1111111 \, cm^2 \)

Por esse motivo, existe um número natural \( n \) onde a soma \( S_n \) se aproxima de \( 111,1111111 \) dentro da sequência.

Portanto, a alternativa D é verdadeira, pois reconhecemos que a soma das áreas dos retângulos após um certo número de termos atinge, e até mesmo ultrapassa, esse valor, confirmando a afirmação apresentada.