Considere uma sequência infinita de retângulos, cada um deles com base medindo 1cm e tais que o primeiro tem altura 1 m e, a partir do segundo, a altura de cada retângulo mede um d

Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta (D), que afirma que existe um n natural tal que \( S_n = 111,1111111 \).

A soma \( S_n \) representa a soma das áreas dos \( n \) primeiros retângulos da sequência, em que a área de cada retângulo é dada pela fórmula:

\( A_i = b \cdot h_i \),

onde \( b = 1 \, cm \) (a base de cada retângulo) e \( h_i \) é a altura do \( i \)-ésimo retângulo.

A altura do primeiro retângulo é \( h_1 = 100 \, cm \), assim:

\( A_1 = 1 \cdot 100 = 100 \, cm^2 \).

Para o segundo retângulo, a altura é:

\( h_2 = 100 \cdot \frac{1}{10} = 10 \, cm \),

resultando em:

\( A_2 = 1 \cdot 10 = 10 \, cm^2 \).

Seguindo esse raciocínio, as alturas e áreas dos retângulos seguintes formam uma sequência onde cada altura é um décimo da altura anterior, portanto, as áreas também seguem essa mesma regra, formando uma progressão geométrica (PG) com:

\( a_1 = 100 \, cm^2 \) e razão \( q = \frac{1}{10} \).

A soma das áreas dessa PG até infinito pode ser calculada pela fórmula:

\( S = \frac{a_1}{1 - q} \).

Substituindo os valores, temos:

\( S = \frac{100}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{100}{\frac{9}{10}} = \frac{1000}{9} \, cm^2 \).

Calculando essa fração, encontramos:

\( S \approx 111,111111\ldots \, cm^2 \).

Dessa forma, como a soma das áreas converge para \( 111,111111\ldots \), podemos afirmar que existe um n natural tal que \( S_n = 111,1111111 \).

Logo, a alternativa correta (D) está confirmada!