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Questão FC188860

O uso de atividades em sala de aula que incluem mosaicos e a decomposição e composição de figuras pode ter um alto potencial pedagógico no que se refere à aproximação entre as prát

Geometria Plana

CESGRANRIO · 2011

 

O uso de atividades em sala de aula que incluem mosaicos e a decomposição e composição de figuras pode ter um alto potencial pedagógico no que se refere à aproximação entre as práticas geométricas e as práticas algébricas na escola.

 

A figura mostra a decomposição e a manipulação de peças que foram retiradas de um mosaico: a partir de dois quadrados, fez-se a composição de duas outras figuras, cuja soma das áreas é igual à soma das áreas dos dois quadrados iniciais.

 

Considerando os comprimentos fornecidos, a equação algébrica definida pela igualdade entre a soma das áreas dos quadrados e a soma das áreas das figuras que foram compostas é

  1. (a + b)2 + (a − b)2 = 4ab
  2. (a + b) \(\cdot\) (a − b) = a2 − b2
  3. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
  4. (a + b)2 + (a − b)2 = 2\(\cdot\)(a2 + b2)
  5. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
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Gabarito

D

Comentário do professor

Vamos analisar a alternativa correta (D) apresentada na questão:

Esta alternativa expressa a igualdade:

\((a + b)^2 + (a - b)^2 = 2 \cdot (a^2 + b^2)\

Primeiramente, vamos entender o que cada parte da equação representa:

Os termos \((a + b)^2\) e \((a - b)^2\) correspondem às áreas de dois quadrados cujos lados são, respectivamente, \(a + b\) e \(a - b\).

Ao expandir esses termos, temos:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

Agora, vamos somar essas duas expressões:

Assim, teremos:

\((a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)\)

Ao simplificarmos essa soma:

\(= a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = 2a^2 + 2b^2\)

Observamos que os termos \(2ab\) se cancelam, resultando em:

\(= 2(a^2 + b^2)\)

Portanto, chegamos à conclusão:

\((a + b)^2 + (a - b)^2 = 2 \cdot (a^2 + b^2)\

Isso demonstra que a soma das áreas dos quadrados à esquerda é igual a duas vezes a soma das áreas dos quadrados à direita.

Logo, a alternativa correta (D) expressa uma relação geométrica fundamental que vincula a decomposição e a composição de figuras e suas respectivas áreas.

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