Deseja-se fazer uma peça retangular com um fio flexível de 40 cm. Dentre o conjunto possível de soluções, aquela de maior área, corresponde, em cm2, a

Gabarito

D

Comentário do professor

Para resolver a questão sobre a peça retangular feita com um fio flexível de 40 cm, vamos buscar a configuração que proporciona a maior área possível.

Sabendo que o perímetro do retângulo é igual ao comprimento do fio, temos a relação:

\(2x + 2y = 40\)

Podemos simplificar isso para:

\(x + y = 20\)

Com essa equação, podemos expressar uma das variáveis em função da outra. Por exemplo, podemos dizer que:

\(y = 20 - x\)

A próxima etapa é calcular a área do retângulo:

\(A = x \cdot y\)

Substituindo \(y\) na fórmula, temos:

\(A(x) = x \cdot (20 - x)\)

Desenvolvendo essa expressão, obtemos:

\(A(x) = 20x - x^2\)

A função resultante é uma parábola invertida, já que o coeficiente de \(x^2\) é negativo (\(-1\)). Isso significa que ela terá um valor máximo.

A área máxima, denotada por \(A_{\text{máx}}\), pode ser encontrada utilizando a fórmula:

\(A_{\text{máx}} = \frac{-b^2}{4a}\)

Onde \(b = 20\) e \(a = -1\). Substituindo os valores, temos:

\(A_{\text{máx}} = \frac{-(20^2)}{4 \cdot (-1)}\)

Calculando, encontramos:

\(A_{\text{máx}} = \frac{-400}{-4} = 100\,\,cm^2\)

Portanto, a alternativa correta é 100. Essa é a área máxima que pode ser obtida para o retângulo formado com o fio de 40 cm.