Deseja-se cercar uma região retangular de um terreno. Com o mesmo material da cerca, deseja-se, ainda, conduzir uma cerca interna paralelamente a um dos lados, de modo a dividir a

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para resolver a questão proposta, precisamos focar na construção da cerca em um terreno retangular e na maximização da área cercada, tendo um total de 600 m de material.

Vamos denotar as dimensões do terreno como x e y. Como há uma cerca interna que divide o terreno, o comprimento total da cerca pode ser expresso pela equação:

\(3x + 2y = 600\)

Essa equação se refere a duas cercas de comprimento y (as laterais) e, ao longo da largura, temos uma cerca de comprimento x dividindo o terreno, sendo necessário considerar esse comprimento adicional.

Por meio dessa relação, podemos expressar y em função de x:

\(2y = 600 - 3x\)

\(y = 300 - \frac{3x}{2}\)

Com y definido em função de x, podemos calcular a área A do terreno, dada por:

\(A(x) = x \cdot y\)

Substituindo o valor de y, temos:

\(A(x) = x \cdot \left(300 - \frac{3x}{2}\right)\)

Expandindo essa equação, obtemos:

\(A(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 300x\)

A função A(x) é uma função quadrática do 2º grau, cujo coeficiente principal é negativo, indicando que a parábola tem um ponto máximo. Para encontrar esse máximo, utilizamos a fórmula do vértice:

\(A_{\text{máx}} = \frac{-b^2}{4a}\)

Substituindo \(a = -\frac{3}{2}\) e \(b = 300\):

\(A_{\text{máx}} = \frac{- (300^2)}{4 \cdot (-\frac{3}{2})} = \frac{90000}{6} = 15000\)

Portanto, a maior área total possível da região cercada é de 15.000 m².