Questão FC188871
No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, tem-se \(\overline{AB}=a\), \(\overline{DC}=b\) e o ângulo CAB\(= \alpha\). A área desse trapézio é
Geometria Plana
CESGRANRIO · 2010
No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, tem-se \(\overline{AB}=a\), \(\overline{DC}=b\) e o ângulo CAB\(= \alpha\).
A área desse trapézio é
- \({\large{b \over 2}}.(a+b).\tan \alpha\)
- \({\large{b \over 2}}.(a+b). \operatorname{cotg} \alpha\)
- \({\large{a \over 2}}.b^2. \sin \alpha\)
- \({\large{1 \over 2}}.(a.\sin \alpha + b. \cos \alpha)\)
- \({\large{1 \over 2}}.(a.\tan \alpha+b. \operatorname{cotg} \alpha)\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Para determinar a área do trapézio retângulo ABCD, onde temos AB = a</</em>, DC = b, e o ângulo CAB = \alpha, utilizamos a fórmula da área de um trapézio:
\(A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}\)
Nessa fórmula, \(B\) representa a base maior (que, no caso, é \(a\)) e \(b\) a base menor, enquanto \(h\) é a \em>altura do trapézio.
Como o trapézio é retângulo, podemos achar a altura \(h\) utilizando a tangente do ângulo \(\alpha\). Sabemos que:
\( \tan \alpha = \dfrac{h}{b}\)
A partir dessa relação, podemos isolar a altura:
\( h = b \cdot \tan \alpha \)
Com a altura \(h\) agora definida, substituímos na fórmula da área:
\( A = \dfrac{(a + b) \cdot (b \cdot \tan \alpha)}{2} \)
Ao simplificarmos, obtemos:
\( A = \dfrac{b}{2} \cdot (a + b) \cdot \tan \alpha \)
Portanto, a alternativa correta que representamos é:
\({\large{b \over 2}}.(a+b).\tan \alpha\)
Isso nos mostra que a área do trapézio retângulo depende das medidas das bases \(a\) e \(b\) e da tangente do ângulo \(\alpha\). Essa relação é fundamental para resolver problemas envolvendo trapézios em contextos de engenharia e matemática.
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