A figura abaixo mostra um retângulo OABC, tal que seus vértices O e B repousam, respectivamente, sobre o centro do círculo dado e sobre a circunferência. Se \(\overline{AC}=5cm\) e

Gabarito

B

Comentário do professor

Para determinar a área do retângulo OABC, precisamos primeiro entender as dimensões que temos disponíveis e como estas se relacionam.

Pelo enunciado, temos que a diagonal AC mede \(5\,\,cm\) e a distância CD mede \(2\,\,cm\).

Como O e B estão, respectivamente, sobre o centro do círculo e sobre a circunferência, a diagonal OB também mede \(5\,\,cm\) porque é igual ao raio do círculo.

Vamos chamar a base do retângulo de OC e a altura de OD.

Sabemos que:

\(OD = OC + CD\).

Portanto, substituindo os valores:

\(5 = OC + 2\)

Isso nos dá:

\(OC = 5 - 2 = 3\,\,cm\).

Agora sabemos que a base do retângulo é \(3\,\,cm\).

Para encontrar a altura \(OD\), aplicamos o Teorema de Pitágoras, que nos diz que em um triângulo retângulo:

\(OB^2 = OC^2 + OD^2\).

Substituindo as medidas conhecidas:

\(5^2 = 3^2 + h^2\)

Resolvendo temos:

25 = 9 + \(h^2\)

Daí, isolando \(h^2\):

\(h^2 = 25 - 9\)

\(h^2 = 16\)

E, extraindo a raiz quadrada:

\(h = \sqrt{16} = 4\,\,cm\).

Agora que temos as duas dimensões do retângulo, podemos calcular a área:

\(A_{OABC} = base \cdot altura\)

\(A_{OABC} = 3 \cdot 4\)

\(A_{OABC} = 12\,\,cm^2\).

Portanto, a área do retângulo OABC é igual a 12 cm², o que corresponde à alternativa B.