Questão FC190047
Considere os seguintes conjuntos:
Conjuntos
Instituto AOCP · 2019
- A ∩ B ∩ C = {5}
- A ∪ B = {5}
- B−A = {2;3;4;6}
- {8} ⊂ C
- 8 ∈ C
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Vamos entender a questão proposta com clareza!
Primeiramente, estamos lidando com três conjuntos: A, B e C.
O conjunto A consiste nos números naturais que são soluções da equação quadrática \(x^2 - x - 20 = 0\). Para resolver essa equação, utilizamos o cálculo do discriminante (\( \Delta \)), onde temos:
\( \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) \).
Isso resulta em \( \Delta = 1 + 80 = 81 \).
Aplicando a fórmula de Bháskara, obtemos:
\( x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 9}{2} \).
Assim, as soluções são \( x_1 = \frac{1 - 9}{2} = -4 \) e \( x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5 \).
Como apenas o número 5 é um número natural, nosso conjunto A se reduz a \( A = \{5\} \).
B é composto pelos números naturais que vão de 2 a 6, ou seja, \( B = \{2, 3, 4, 5, 6\} \).
O conjunto C já está definido como \( C = \{4, 6, 7, \{8\}\} \).
Analisando as proposições:
- A ∩ B ∩ C: A interseção destes conjuntos não possui elementos comuns, logo, é vazia \( A ∩ B ∩ C = \emptyset \) – portanto, essa opção é falsa.
- A ∪ B: A união dos conjuntos A e B nos dá \( A ∪ B = \{2, 3, 4, 5, 6\} \) – falso.
- B - A: A diferença de B menos A nos leva aos elementos que estão em B, mas não em A, resultando em \( B - A = \{2, 3, 4, 6\} \) – aqui, temos uma opção verdadeira!
- {8}⊂C: Um cuidado importante aqui! O conjunto {8} é um elemento de C, não um subconjunto, então isso é falso.
- 8∈C: O número 8 não pertence a C, correndo o mesmo risco.
Portanto, a alternativa correta é a letra C!
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