Questão FC190117
Um veterinário detectou a presença de uma nova espécie de carrapatos super-resistentes e, diante da necessidade de exterminá-los, passou a observar o seu comportamento reprodutivo.
Conjuntos
Instituto AOCP · 2024
- em 12 semanas, a população ainda não terá ultrapassado 10.000 carrapatos.
- em 5 semanas, haverá 512 carrapatos.
- após 8 semanas, a população será maior que 1000 carrapatos.
- após 3 semanas, a população de carrapatos será inferior a 20 carrapatos.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos entender a situação proposta envolvendo os carrapatos. Inicialmente, temos 4 carrapatos, e a cada semana, a população se dobra. Portanto, logo no primeiro ciclo, a quantidade de carrapatos já começa a crescer rapidamente.
Para visualizarmos isso, consideremos que na *primeira semana*, o cálculo é simples: \( 4 \times 2 = 8 \) carrapatos.
Na *segunda semana*: \( 8 \times 2 = 16 \) carrapatos, e assim por diante. Como estamos tratando de um fenômeno que evolui a uma taxa constante de duplicação, podemos entender a distribuição dessa população utilizando a fórmula da Progressão Geométrica: \( a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \). Aqui, \( a_1 = 8 \) (carrapatos após a primeira semana) e \( q = 2 \) (razão de duplicação). Assim, se quisermos descobrir a quantidade de carrapatos após um número n de semanas, podemos aplicar a fórmula.
Agora, respeitando as alternativas propostas, vamos verificar a terceira: *“Após 8 semanas, a população será maior que 1000 carrapatos”.* Para isso, calculamos o oitavo termo:
\( a_8 = 8 \cdot 2^{(8-1)} = 8 \cdot 128 = 1024 \).
Logo, podemos afirmar que ao final de 8 semanas, a população realmente supera 1000 carrapatos, confirmando que a alternativa está correta. A simples observação de que cada semana significa uma duplicação nos fornece um entendimento claro de como a população evolui de forma exponencial, destacando a importância da matemática na descrição desse fenômeno biológico.
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