Questão FC190141
No conjunto {100, 101, 102, 103, 104, ..., 997, 998, 999}, quantos múltiplos de 5 têm todos os dígitos distintos?
Conjuntos
Instituto AOCP · 2024
- 200
- 180
- 174
- 156
- 136
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Para começarmos nossa análise, vamos entender que estamos lidando com múltiplos de 5 dentro de um intervalo específico. Os múltiplos de 5 são aqueles números que terminam com 0 ou 5. Dessa forma, iniciamos nossos cálculos observando que o menor múltiplo de 5 é 100 e o maior é 995.
Considerando que os múltiplos de 5 formam uma progressão aritmética (PA) com uma razão de 5, podemos determinar quantos múltiplos existem entre 100 e 995 usando a fórmula: \\( a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r \\)
Substituindo, temos \\( 995 = 100 + (n - 1) \cdot 5 \\). Resolvendo a equação, encontramos o número total de termos: \\( n = 180 \\). Agora, precisamos focar em quantos desses números têm todos os seus dígitos distintos.
Para isso, analisamos os grupos de centenas. Em cada grupo de 100 a 199, por exemplo, podemos listar os múltiplos de 5 e verificar quantos têm dígitos repetidos. Fazendo isso, notamos que cada grupo de centenas, exceto a centena 500, contém 4 múltiplos com dígitos repetidos. Verificando as centenas de 100 a 900, totalizamos 32 múltiplos. Para a centena de 500 a 599, encontramos 12 múltiplos repetidos. Assim, somamos 32 + 12 = 44 múltiplos de 5 com algarismos repetidos. Portanto, ao subtrair esse total do número total de múltiplos de 5, temos: 180 - 44 = 136. Assim, a resposta correta é Letra E.
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