Questão FC190144
Existem dois números de cinco algarismos distintos que satisfazem às seguintes condições: ambos são divisíveis por 9 e por 5; o segundo algarismo é o dobro do primeiro e a soma des
Conjuntos
Instituto AOCP · 2022
- ambos são divisíveis por 9 e por 5;
- o segundo algarismo é o dobro do primeiro e a soma desses dois algarismos é 6;
- o quarto algarismo é a soma do primeiro e do terceiro algarismos.
- maior do que 35.
- múltiplo de 5, mas não múltiplo de 3.
- primo.
- quadrado perfeito.
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Gabarito
D
Comentário do professor
Comentário: Vamos explorar a questão dos números de cinco dígitos para desvendar o gabarito.
Começamos observando que esses números precisam obrigatoriamente ser divisíveis por 9 e 5. Para isso, toda a soma dos dígitos deve ser um múltiplo de 9, enquanto o último dígito precisa ser 0 ou 5.
Um dos critérios que temos é que o segundo dígito é duas vezes o primeiro e que a soma dos dois é igual a 6. Assim, se chamarmos o primeiro dígito de \( a \), temos a equação \( a + 2a = 6 \), que implica que \( a = 2 \) e a partir daí o segundo dígito é 4.
Agora, se chamarmos o terceiro dígito de \( x \), o quarto será \( x + 2 \). Deste modo, os possíveis arranjos ficam: 2, 4, \( x \), \( x+2 \), e 0 ou 5.
A soma dos dígitos dos números que terminam em 0 será \( 8 + 2x \), e para que essa soma seja múltipla de 9, considerando que os dígitos vão de 0 a 9, a única solução válida para o caso em questão é quando \( x = 5 \), resultando no número 24.570.
Já para aqueles que terminam em 5, a soma se torna \( 13 + 2x \). Para que isso ocorra, a única soma que se encaixa é a que leva ao resultado 27, ou seja, \( 2x = 14 \), levando-nos a \( x = 7 \) e resultando no número 24.795.
Por fim, a diferença entre esses dois números é \( 24.795 - 24.570 = 225 \), confirmando nossa resposta como correta com a letra D.
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