Questão FC190145
Em certo material de matemática, havia um total de 552 questões, sendo 144 questões de álgebra, 192 de geometria e 216 questões de aritmética. O professor deseja usar tais questões
Conjuntos
Instituto AOCP · 2022
O professor deseja usar tais questões para montar listas de exercícios diferentes, a fim de disponibilizar como simulado ao longo do ano, de modo que:
I. deve-se produzir o maior número possível de listas de exercícios;
II. é proibido repetir qualquer uma das questões nas listas;
III. todas as listas devem ter um padrão com o mesmo número de questões de álgebra, o mesmo número de questões de geometria e o mesmo número de questões de aritmética;
IV. todas as questões devem ser usadas.
Nesse caso, o número de questões de álgebra nessas listas deve ser
- 6.
- 7.
- 8.
- 9.
- 10.
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
A
Comentário do professor
Análise da Questão: Vamos explorar a importância do máximo divisor comum (MDC) na criação de listas de exercícios, abrangendo três conjuntos distintos de questões. O objetivo é garantir que cada lista tenha uma divisão equitativa das questões sem sobras.
Para isso, primeiramente, precisamos identificar o MDC entre os totais de questões disponíveis, que são 144, 192 e 216. Isso nos permitirá descobrir quantas listas completas podem ser formadas.
O processo envolve a análise dos fatores que cada um desses números possui em comum. Inicialmente, dividimos cada número pelo menor primo possível, que é 2, e prosseguimos até que não exista mais divisor comum. Aqui está a sequência das divisões:
- Ao dividir 144, 192 e 216 por 2, obtemos 72, 96 e 108.
- Repetimos o processo, resultando em 36, 48 e 54.
- Continuamos até chegar a 18, 24 e 27, e então, finalmente, aos números 6, 8 e 9.
Isso nos leva a concluir que o único divisor comum restante é 3; portanto, o cálculo final se torna \( 2^3 \times 3^1 \), resultando em um MDC de 24.
Assim, sabemos que podemos compor 24 listas.Para entender quantas questões de cada área caberão em cada lista, simplesmente dividimos os totais originais por 24:
\( 144 \div 24 = 6, \quad 192 \div 24 = 8, \quad 216 \div 24 = 9 \).
Portanto, fica claro que cada lista terá 6 questões de álgebra, 8 de geometria e 9 de aritmética. Com isso, a resposta correta para nossa pergunta é a letra A.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em