Questão FC190240
Sabe-se que um conjunto A é dado de tal forma que A = {x ∈ N; x < 20 + 10√2 e x > 20 − 10√2 }. Dessa forma, determine a quantidade de elementos do conjunto A cujo quadrado também s
Conjuntos
Instituto AOCP · 2022
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Gabarito
A
Comentário do professor
Comentário: Para entender o resultado correto, precisamos primeiro decifrar as condições que definem o conjunto A. Lembrando que temos dois critérios para os números: eles devem ser naturais, e também devem atender a certas desigualdades. Se considerarmos a aproximação de \( \sqrt{2} \approx 1,41 \), podemos reescrever as condições que compõem o conjunto A.
Assim, podemos imaginar A como um grupo de números, onde a primeira condição \( x < 20 + 10 \cdot 1,41 \) simplifica-se para \( x < 34,1 \), e a segunda condição \( x > 20 - 10 \cdot 1,41 \) reduz-se a \( x > 5,9 \).
Portanto, podemos delimitar A: \( A = \{ x \in \mathbb{N} \mid x < 34,1 \text{ e } x > 5,9 \} \). Isso nos dá uma faixa clara de números.
Observando agora os limites, identificamos que os números que efetivamente formam A são aqueles inteiros dentro dessa faixa, especificamente \( \{6, 7, 8, \ldots, 34\} \).
O próximo passo é verificar qual dos elementos deste conjunto tem a propriedade de que seu quadrado também pertence a A. Começando pelo menor elemento, \( 6 \), cujo quadrado, \( 6^2 = 36 \), é maior que 34, extrapolando assim o conjunto.
Isso nos leva a concluir que nenhum número em A pode ter seu quadrado também em A, pois o menor valor já viola essa condição. Portanto, a resposta correta é que não existe nenhum elemento em A cujo quadrado pertença ao conjunto A. Então, a alternativa correta é a letra A.
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