Questão FC190244
Dado a ∈ Q e b ∈ Ir, onde Q é o conjunto dos números racionais e Ir é o conjunto dos números irracionais, assinale a alternativa correta.
Conjuntos
Instituto AOCP · 2022
- ( a . b) ∈ Ir
- ( a + b) ∈ Q
- ( a - b) ∈ Q
- ( a . b) ∈ Q
- ( a + b) ∈ Ir
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Para entender o que acontece na interação entre números racionais e números irracionais, vamos explorar suas propriedades fundamentais. Um número racional pode ser expresso como \( \frac{x}{y} \), onde \( x \) e \( y \) são inteiros e \( y \neq 0 \). Por outro lado, um número irracional, como \( b \), não pode ser escrito dessa forma.
Quando somamos ou multiplicamos um número racional \( a \) com um número irracional \( b \), vamos analisar o que acontece. Se, por exemplo, considerarmos a soma \( a + b \), podemos reescrever isso como:
\( b = m - a \), onde \( m \) é um número racional. Quando rearranjamos, isso sugere que \( b \) poderia ser expresso como a diferença entre dois números racionais, o que fere sua própria definição de irracionalidade, resultando em uma contradição.
Um raciocínio análogo se aplica ao produto \( a \cdot b \): se assumíssemos que esse resultado é um número racional \( n \), poderíamos inverter a relação para obter \( b = \frac{n}{a} \), e, novamente, isso implicaria que um número irracional poderia ser expresso como um número racional, o que não pode ocorrer.
Assim, chega-se à importante conclusão de que a soma ou o produto entre um número racional e um número irracional sempre produzirá um número irracional. Portanto, no contexto da questão, a resposta correta infere que a alternativa correta é a E, ao passo que as outras devem ser desacreditadas. Desse modo, podemos afirmar que as opções a) e e) estão corretas, sugerindo que a questão deveria ser considerada anulada.
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