Questão FC190274
Considere um cubo regular, que possui 6 faces quadradas, construído em madeira e que deve ser pintado de 6 cores distintas (cada face de uma cor). Tendo disponível exatamente essas
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Instituto AOCP · 2022
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Gabarito
D
Comentário do professor
Comentário: Imagine que temos um cubo e decidimos colorir suas faces com 6 cores diferentes. Inicialmente, parece que temos uma infinidade de arranjos possíveis, pois 6! possibilidades realmente existiriam. Contudo, precisamos considerar que o cubo pode ser rotacionado, o que pode fazer com que várias dessas combinações sejam visualmente idênticas, mesmo que sejam permutações distintas.
Vamos explorar a maneira como essas rotações funcionam: se escolhermos uma face específica para estar em uma posição fixa (digamos, a face azul para cima), o cubo poderá ser orientado de 6 maneiras diferentes - ele pode olhar para cima, para baixo, e assim por diante.
Para cada uma dessas posições da face azul, há mais 4 rotações possíveis ao redor do eixo que passa por ela. Assim, no total, o número de orientações do cubo é dado por \( 6 \times 4 = 24 \).
Portanto, o total de combinações únicas de pintura de nossas 6 faces coloridas é \( \dfrac{6!}{24} \). Simplificando, encontramos que o resultado final é 30, ou seja, as disposições realmente distintas que podem ser visualizadas no cubo, levando em conta que muitas parecem iguais apenas por rotação. Isso explica o gabarito correto da banca, que apontava para a letra D.
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