Questão FC190275
Quantos anagramas da palavra INSTITUTO possuem as vogais sempre juntas e as consoantes, também, sempre juntas?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Instituto AOCP · 2022
- 240
- 480
- 362.880
- 30.240
- 960
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Gabarito
B
Comentário do professor
Comentário: Vamos explorar o intrigante mundo dos anagramas da palavra INSTITUTO! A primeira coisa a se notar é a composição dessa palavra, que é formada por 9 letras, onde 5 são consoantes e 4 são vogais. No entanto, a beleza do problema está em como agrupamos essas letras.
Para que as vogais permaneçam sempre juntas, podemos considerá-las como um único bloco. Assim, em vez de 4 vogais, temos um bloco, o que nos dá uma nova configuração com 6 elementos (5 consoantes + 1 bloco de vogais). Mas lá está o desafio: entre as consoantes, a letra T se repete 3 vezes.
Usando a fórmula de permutações com elementos repetidos, calculamos os anagramas das consoantes como: \( P_{n}^{\alpha} = \frac{n!}{\alpha!} \). Para as 5 consoantes, obtemos: \( P_{3}^{5} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4}{1} = 20 \) anagramas.
Agora, para as 4 vogais, a letra I aparece 2 vezes, assim aplicamos novamente a mesma fórmula: \( P_{2}^{4} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 12 \) anagramas.
O próximo passo é multiplicar o número de anagramas das vogais pelo número das consoantes, resultando em: \( 20 \times 12 = 240 \). Mas não podemos esquecer da permutação dos blocos – vogais e consoantes podem interagir, o que nos leva a considerar 2! para as permutações desses blocos.
Por último, ao multiplicarmos \( 240 \times 2 \), chegamos ao total de 480 anagramas da palavra INSTITUTO que atendem às condições exigidas! Portanto, está tudo claro e justificado, levando-nos à conclusão que se apresenta como a letra B.
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