Questão FC190279
Quantos anagramas da palavra CLARINETE começam por vogal?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Instituto AOCP · 2022
- 10.080
- 20.160
- 40.320
- 60.480
- 80.640
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos explorar o fascinante mundo dos anagramas começando pela palavra CLARINETE. Para determinar quantos desses anagramas iniciam com uma vogal, primeiro precisamos identificar as vogais presentes: A, E e I.
Fixando a vogal A ou I no início da palavra, restam 8 letras para serem permutadas, lembrando que a letra E se repete duas vezes. Para calcular a quantidade de anagramas, aplicamos a fórmula de permutação de elementos repetidos:
\( P_{\alpha}^{n} = \frac{n!}{\alpha!} \)
Aqui, \( n \) representa o total de letras a serem permutadas (8), e \( \alpha \) a quantidade de vezes que a letra E aparece (2). Portanto, temos:
\( P_{2}^{8} = \frac{8!}{2!} \)
Calculando, obtemos 20.160 anagramas para cada uma das vogais A ou I.
Como são duas opções (A e I), multiplicamos por 2, resultando em 40.320 anagramas.
Agora, consideramos também a vogal E como inicial. Nesse caso, como E é única em sua posição inicial, aplicamos uma permutação simples sobre as 8 letras restantes, resultando em:
\( P_{8} = 8! = 40.320 \) anagramas.
Finalmente, somamos as duas situações:
40.320 (A ou I) + 40.320 (E) = 80.640 anagramas que começam com uma vogal.
A resposta correta, portanto, é a letra E.
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