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Questão FC190280

Um XILOFONE deve ser montado escolhendo 7 teclas de tamanhos distintos, mas sempre obedecendo, da esquerda para a direita, a ordem crescente de tamanho. Para cada tecla, há disponí

Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)

Instituto AOCP · 2022

Um XILOFONE deve ser montado escolhendo 7 teclas de tamanhos distintos, mas sempre obedecendo, da esquerda para a direita, a ordem crescente de tamanho. Para cada tecla, há disponíveis 5 cores diferentes: branco, amarelo, azul, verde e vermelho. De quantas maneiras distintas é possível montar esse XILOFONE, sabendo que teclas vizinhas não podem ter a mesma cor?
  1. 16.384
  2. 20.480
  3. 40.320
  4. 5.040
  5. 78.125
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Gabarito

B

Comentário do professor

Comentário: Vamos desvendar o mistério desse xilofone!
No cenário apresentado, temos 7 teclas de tamanhos distintos, que já estão ordenadas pela sua grandeza, o que significa que não precisamos nos preocupar com a disposição delas nesse aspecto.
Agora, a parte emocionante envolve as cores! Para cada tecla, temos 5 cores disponíveis. É aqui que as regras de combinação entram em cena, especialmente a que nos diz que teclas adjacentes não podem ter a mesma cor.
Vamos analisar a escolha de cores, começando pela primeira tecla: como temos 5 opções de cores, vamos anotá-las. Para a segunda tecla, não podemos escolher a cor da primeira, o que nos deixa com 4 opções restantes. Da terceira até a sétima tecla, a lógica continua a mesma: 4 opções para cada uma delas.
Então, para encontrarmos o total de combinações, multiplicamos as opções:
\( 5 \times 4^6 \)
Isso nos oferece 20.480 maneiras distintas de montar esse xilofone, respeitando todas as regras estabelecidas! Portanto, a resposta é a letra B.

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