Questão FC190282
Determine o número de anagramas possíveis a partir da palavra PINOQUIO, de tal maneira que as consoantes sejam mantidas em suas posições originais.
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Instituto AOCP · 2022
- 8!
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Gabarito
A
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a palavra PINÓQUIO que possui um total de 8 letras, sendo que 3 delas são consoantes e 5 são vogais.
A proposta é que as consoantes permaneçam em suas respectivas posições, o que significa que precisamos focar somente na reorganização das vogais.
Ao olharmos atentamente, notamos que temos duas letras O e duas letras I entre as vogais.
Portanto, para calcular os anagramas possíveis com as vogais, utilizamos o teorema de permutação com elementos repetidos, expresso pela fórmula:
\( P_{n; \alpha, \beta} = \frac{n!}{\alpha! \times \beta!} \)
onde n é o total de vogais a serem permutadas e α e β são as quantidades das vogais repetidas.
Neste caso, temos n = 5, α = 2 (para as letras O) e β = 2 (para as letras I).
A aplicação da fórmula nos traz:
\( P_{5; 2, 2} = \frac{5!}{2! \times 2!} \)
ou seja, o número de anagramas possíveis das vogais é igual a 30, respeitando as posições das consoantes. Dessa forma, esta é a razão pela qual o gabarito correto é assinalado.
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