Questão FC190283
Assinale a única alternativa em que possa figurar a razão R entre o número de arranjos de n elementos tomados p a p e o número de combinações dos mesmos n elementos tomados p a p.
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Instituto AOCP · 2022
- R = 5
- R = 10
- R = 25
- R = 100
- R = 120
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos desvendar essa questão com um olhar fresco!
Primeiro, consideremos a relação entre arranjos e combinações de um conjunto de elementos. A fórmula para o número de arranjos de \(n\) elementos tomados \(p\) a \(p\) é dada por: \(A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}\). Em contraposição, a fórmula para combinações é expressa como \(C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}\).
Agora, se formos analisar a razão entre esses dois valores, isto é, \(R = \frac{A_{n,p}}{C_{n,p}}\), teremos:
\(R = \frac{\frac{n!}{(n-p)!}}{\frac{n!}{p!(n-p)!}} = \frac{n! \cdot p!(n-p)!}{(n-p)! \cdot n!} = p!\).
Esse resultado nos revela que a razão \(R\) é simplesmente o fatorial de \(p\), o que gera uma sequência de valores muito interessantes.
Por exemplo, se \(p=1\), temos \(1!=1\); se \(p=2\), \(2!=2\); assim por diante, gerando sempre números inteiros positivos. Portanto, quando buscamos uma alternativa válida para nossa razão \(R\), a única escolha que se enquadra dentro dessa lógica é, sem dúvida, a letra e! Parabéns por chegar até aqui e visualizar a beleza que reside nos números!
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