Questão FC190290
Dado um conjunto A com cinco elementos, considere x como sendo o número de subconjuntos com 2 elementos escolhidos dentre os elementos de A, y o número de subconjuntos com 3 elemen
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Instituto AOCP · 2020
- x é triplo de z.
- x + y + z = 32.
- z é o dobro de y.
- y – x + z = 0.
- a soma do número x com o número y é igual ao quádruplo de z.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos explorar a questão envolvendo o conjunto A, que possui 5 elementos. Quando nos propomos a contar os subconjuntos de A formados por 2, 3 e 4 elementos, utilizamos a fórmula fundamental das combinações. A quantidade de subconjuntos de p elementos retirados de um conjunto de n elementos é obtida pela fórmula \( C(n,p) = \frac{n!}{p!(n-p)!} \).
Para iniciar, vamos calcular o número de subconjuntos com 2 elementos (x):
\( x = C(5,2) = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \).
Em seguida, para os subconjuntos de 3 elementos (y):
\( y = C(5,3) = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \).
Por último, vamos determinar os subconjuntos de 4 elementos (z):
\( z = C(5,4) = \frac{5!}{4! \cdot (5-4)!} = 5 \).
Agora, agrupando os resultados que obtivemos, encontramos que a soma dos valores x e y é igual a 20, que por sua vez, corresponde a 4 vezes o valor de z, que é 5:
\( 10 + 10 = 4 \times 5 \).
Portanto, a afirmação está correta e reforça a relação fascinante entre as combinações e as somas de subconjuntos em um conjunto. Gabarito: alternativa E.
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