Questão FC190496
Sendo a e b as soluções da equação x2 – 7x + 10 = 0, com a < b, qual é o conjunto solução da equação ax2 + bx - (4a + b -1) = 0?
Equações
Instituto AOCP · 2022
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Gabarito
A
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a equação \( x^2 - 7x + 10 = 0 \) e entender por que a resposta correta é a que temos em nosso gabarito. Inicialmente, precisamos identificar as raízes da equação. Para isso, utilizaremos o discriminante, representado por \( \Delta \). Calculamos \( \Delta \) utilizando a fórmula \( \Delta = b^2 - 4ac \), onde \( a = 1 \), \( b = -7 \) e \( c = 10 \). Portanto, temos:
\( \Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \).
Um \( \Delta \) positivo indica que existem duas raízes distintas. A seguir, aplicamos a Fórmula de Bháskara para encontrar os valores de \( x \):
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 \pm 3}{2} \).
Dessa forma, obtemos duas soluções: \( x_1 = \frac{7 - 3}{2} = 2 \) e \( x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5 \), logo, temos que \( a = 2 \) e \( b = 5 \).
Substituímos esses valores na nova equação \( ax^2 + bx - (4a + b - 1) = 0 \), gerando:
\( 2x^2 + 5x - (4 \cdot 2 + 5 - 1) = 2x^2 + 5x - 12 = 0 \).
Repetimos o cálculo do discriminante para essa nova equação e obtemos \( \Delta = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 \).
Com um \( \Delta \) de 121, aplicamos novamente a Fórmula de Bháskara, resultando em:
\( x = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{-5 \pm 11}{4} \).
Assim, obtemos as soluções \( x_1 = -4 \) e \( x_2 = \frac{3}{2} \). Portanto, a solução final é o conjunto \( S = \{-4, \frac{3}{2}\} \), corroborando com a alternativa marcada como correta. Essa abordagem metódica e a verificação das condições do discriminante nos levam a resultados confiáveis e à segurança de que estamos no caminho certo para solucionarmos o problema proposto.
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