Questão FC190497
Seja k um número real, onde k > 0, tal que esse número k seja a raiz positiva da equação do segundo grau x2 – 2x – 4 = 0 , é correto afirmar que
Equações
Instituto AOCP · 2019
- k é um número inteiro e par.
- k é um número natural divisor de 50.
- k é um número irracional menor que 4.
- k é um número natural e ímpar.
- k é um número racional e múltiplo de 5.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos explorar a equação \(x^2 - 2x - 4 = 0\) para determinar o valor de \(k\). Para isso, nosso primeiro passo é calcular o discriminante, representado por \(\Delta\). Ele nos ajuda a entender a natureza das raízes da equação. A fórmula do discriminante é dada por \( \Delta = b^2 - 4ac \). Aqui, temos a = 1, b = -2 e c = -4.
Calculando, teremos:
\( \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20\). Como \(\Delta\) é positivo, isso quer dizer que a nossa equação possui duas raízes reias e distintas. Agora, vamos aplicar a fórmula de Bháskara para encontrar os valores de \(x\): \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \). Substituindo os valores que encontramos,
\( x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2}\). Agora, simplificando, obtemos duas soluções: \( x_1 = \frac{2 - \sqrt{20}}{2} \) e \( x_2 = \frac{2 + \sqrt{20}}{2} \). É importante notar que \(\sqrt{20}\) não é um número inteiro (pois \( 4 < \sqrt{20} < 5\)), o que implica que os valores de \(x_1\) e \(x_2\) também não são inteiros, confirmando que \(k\) é um número irracional. Portanto, a resposta correta é a letra C.
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