Questão FC190499
Considerando válida a expressão algébrica , em que , a > 0 a ≠ 1 e b > 0, sua solução real, em x, deve ser igual a
Equações
Instituto AOCP · 2022
, em que , a > 0 a ≠ 1 e b > 0, sua solução real, em x, deve ser igual a 
- x = (2loga b − 5)3
- x = (5loga b−2)3
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Gabarito
A
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a equação dada, \(a^{3x+2}=\dfrac{b^2}{a^3}\), e utilizar a magia dos logaritmos para simplificá-la de modo elucidativo. Primeiramente, ao aplicar \(\log_a\) em ambos os lados, transformamos a potência em um produto: \( \log_a a^{3x+2}=\log_a \left(\dfrac{b^2}{a^3}\right) \). Isso nos leva a simplificações preciosas: por um lado, a propriedade do logaritmo nos dá \((3x+2) \cdot \log_a a\) e, por outro, a regra do quociente nos oferece \(\log_a b^2 - \log_a a^3\). Sabendo que \(\log_a a=1\), podemos substituir e obter \(3x + 2 = 2 \cdot \log_a b - 3\). Ao isolar \(x\), chegamos à expressão \(x=\dfrac{2 \cdot \log_a b - 5}{3}\), que nos mostra como o valor de \(x\) depende da relação entre \(b\) e \(a\). Esse raciocínio lógico e a manipulação astuta dos logaritmos nos levam à resposta correta: Letra A.
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