Questão FC190500
Admita serem satisfeitas todas as condições de existência dos logaritmos na expressão algébrica (log x)2 − (log x) = 2 e determine, entre as alternativas a seguir, a única correta.
Equações
Instituto AOCP · 2022
- Uma das soluções para X não é real.
- A razão entre a maior e a menor solução em X é −2.
- Ambas as soluções em X são potências de base 10.
- As soluções em X têm sinais contrários.
- O produto entre as soluções em X é um número ímpar negativo.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para resolvermos a equação (\log x)^2 - \log x = 2, iniciamos realizando uma substituição criativa. Vamos estabelecer uma nova variável, y, onde y = \log x. Assim, a equação original se transforma em y^2 - y - 2 = 0, criando um ambiente mais familiar para resolução.
Agora, segue-se o passo-a-passo típico das equações quadráticas. Calculamos o discriminante, dado por \(\Delta = b^2 - 4ac\), onde a = 1, b = -1 e c = -2. Portanto, temos:
\(\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\).
O próximo passo é aplicarmos a fórmula de Bhaskara:
\(y = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) resulta em
\(y = \dfrac {1 \pm 3}{2}\).
Isso nos proporciona duas soluções: y_1 = -1 e y_2 = 2. Lembrando que nossa nova variável, y, é a expressão de \log x.
Portanto, as soluções originais serão obtidas ao resolvermos \log x_1 = -1 e \log x_2 = 2.
Agora, aplicamos os conceitos fundamentais dos logaritmos:
Para x_1, resulta em x_1 = 10^{-1} = \frac{1}{10} e, para x_2, temos x_2 = 10^2 = 100.
Assim, as raízes da nossa equação são \(\frac{1}{10}\) e 100, sendo a alternativa correta a letra C.
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