Questão FC190501
Considerando as operações com números inteiros e o contexto das equações de segundo grau, determine o único número inteiro x que satisfaz a equação a seguir e assinale a alternativ
Equações
Instituto AOCP · 2024
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Gabarito
D
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a equação apresentada com calma e atenção! Começamos considerando a seguinte expressão:
\({ \large (-2x^2 - 13x + 15)^2 + (7x^2 - 15x + 8)^2 \over (x + 1)^2} = 0\).
É importante notar que a soma de dois quadrados, \((-2x^2 - 13x + 15)^2\) e \((7x^2 - 15x + 8)^2\), não pode ser negativa; o mínimo que ela pode atingir é zero.
Assim, para que a fração seja igual a zero, o numerador, que é a soma desses quadrados, deve ser zero (isso é uma propriedade fundamental das funções quadráticas!).
Portanto, temos que resolver as duas equações a seguir:
\(-2x^2 - 13x + 15 = 0\) e \(7x^2 - 15x + 8 = 0\).
Ao manipulá-las, começamos pela primeira. Multiplicando toda a equação por \(-1\), ela se torna:
\(2x^2 + 13x - 15 = 0\).
Agora, aplicamos a fórmula de Bháskara para encontrar as raízes, calculando primeiro o discriminante:
\(\Delta = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 169 + 120 = 289\).
Com \(\Delta\) positivo, aplicamos a fórmula:
\(x = \frac{-13 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2}\).
Isso nos dá:
\(x_1 = 1\) ou \(x_2 = -7.5\).
Agora, para a segunda equação \(7x^2 - 15x + 8 = 0\):
calculamos o discriminante:
\(\Delta = (-15)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 8 = 225 - 224 = 1\), novamente positivo.
Assim, utilizando também a fórmula de Bháskara aqui, encontramos:
\(x_3 = \frac{16}{14} = \frac{8}{7}\) ou \(x_4 = 1\).
Temos, portanto, que o valor que anula o numerador, assegurando que nossa equação volte a ser verdadeira, é \(x = 1\).
Dessa forma, a resposta correta é a letra D!
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