Questão FC190513
Assinale a alternativa que apresenta o valor de x para que (x+2, 5x, 4x2) forme uma progressão aritmética decrescente.
Progressão Aritmética
Instituto AOCP · 2022
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Gabarito
B
Comentário do professor
Comentário: Para resolver essa questão, precisamos entender que desejamos que a sequência composta pelos termos (x + 2, 5x, 4x²) estabeleça uma progressão aritmética (PA) em que os valores diminuem. Em uma PA, a diferença entre dois termos consecutivos permanece a mesma. Portanto, precisamos igualar as diferenças entre os termos:
diferença entre o segundo e o primeiro termo deve ser igual à diferença entre o terceiro e o segundo. Montamos essa relação como:
\(5x - (x + 2) = 4x^2 - 5x\).
Vamos simplificar esta equação:
Primeiramente, ao expandir a equação, obtemos:
\(5x - x - 2 = 4x^2 - 5x\).
Com isso, combinando os termos, temos:
\(4x - 2 = 4x^2 - 5x\).
Agora, reorganizando os termos, chegamos à forma padrão de uma equação quadrática:
\(4x^2 - 9x + 2 = 0\).
Para resolver essa equação, calculamos o discriminante: \( \Delta = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4(4)(2) = 81 - 32 = 49\).
Com o valor de ∆ encontrado, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{9 \pm 7}{8}\).
Portanto, obtemos duas soluções para \(x\): \(x_1 = 2\) e \(x_2 = \dfrac{1}{4}\).
Agora, precisamos determinar qual dos valores resulta numa PA decrescente.
Testando \(x = 2\), resultamos nos valores (4, 10, 16), que claramente não formam uma PA decrescente. Por outro lado, ao substituirmos \(x = \dfrac{1}{4}\), obtemos a sequência (\dfrac{9}{4}, \dfrac{5}{4}, \dfrac{1}{4}), que sim, é uma PA decrescente.
Assim, a resposta correta é a alternativa B.
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